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Pentakuben

Sie haben es sicher herausgefunden: Die Abbildungen zeigen nur vier verschiedene Pentakuben. Und die erste und die letzte sogar in derselben Stellung. Das war für Sie wohl keine echte Herausforderung.

Obwohl – haben Sie bemerkt, dass es zu Beginn gar nicht so leicht war, sich Klarheit zu verschaffen? Und Sie mehrfach mit der Handbewegung des Zurechtdrehens neu ansetzen mussten? Dass aber schon nach kurzer Zeit diese Klarheit sich immer leichter einstellte, oft eine Handbewegung schon reichte? Und Sie zum Schluss fast unmittelbar sehen konnten, ob die Figuren übereinstimmten oder nicht, sogar vielleicht ohne jede Handbewegung? Die Figuren sind keineswegs immer einfacher geworden. Sie haben nur erlebt, in welch kurzer Zeit wir unsere figurative Intelligenz trainieren und erweitern können. Sie liegt vielleicht lange brach, aber sie ist nie weg. Sie wartet nur darauf, gebraucht zu werden, und springt sofort an.

Dazu braucht sie allerdings zunächst immer Unterstützung durch die Hände. Ohne Ihre Handbewegungen wäre Ihre Vorstellungskraft nicht in Schwung gekommen. Wie gesagt: Alles eine Folge der Evolution. Was die Hände tun, geht über die Augen direkt in den Kopf. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte? Das stimmt wohl. Aber eine Handlung bringt mehr als tausend Bilder, auch eine Handlung, die man sich nur gut vorstellt. Der Schweizer Entwicklungspsychologe Jean Piaget (1896-1980) hat seine vielleicht wichtigste Erkenntnis einmal in einem bemerkenswerten Satz zusammengefasst: »Denken ist vorgestelltes Handeln.«




Haben Sie auch herausgefunden, wie viele Pentakuben es insgesamt gibt? Das ist natürlich eine Frage, die mehr Aufwand erfordert als die erste. Das eine Problem ist, wirklich alle zu finden. Das andere ist, nicht zu viele zu finden. Man kann zwar nicht mehr finden als es gibt. Aber man kann beim Konstruieren so in Schwung kommen, dass man unbemerkt etwas zum zweiten Mal findet. Wir haben gerade gesehen, wie unterschiedlich ein und dieselbe Figur in verschiedenen Lagen aussehen kann.

Haben Sie 29 Pentakuben gefunden? Alle verschieden, keine doppelt? Gratulation. Falls nicht, kein Problem, vielleicht wollen Sie zurückblättern und erst einmal selbst weitersuchen?

Wie sind Sie beim Zeichnen vorgegangen, eher spontan oder eher systematisch? Die meisten von uns gehen wohl nach der »spontanen Strategie« vor. Sie konstruieren drauf los und erhalten schnell Resultate, die sie dann ggf. noch nachbessern müssen. Rezept: Erst einmal so viele wie möglich finden und anschließend doppelte löschen. Manche ziehen die »systematische Strategie« vor, die in der Abbildung bereits durch die Typisierung angedeutet ist. Entdecken kann man sie nicht nur durch planerisches Denken, sondern auch ganz praktisch, sozusagen mit der Säge in der Hand:

Kinder einer 5. Klasse, die in der Projektwoche Pentakuben aus Holz bauen wollten und gerade dabei waren, quadratische Holzstäbe zu zersägen (was ganz schön mühevoll ist, wie sie bald feststellen mussten), kamen dabei auf eine clevere Idee: »Wir müssen doch nicht jeden einzelnen Würfel absägen! Den Stab zum Beispiel (Typ 5) bekommen wir doch auf einmal – ein Schnitt und fertig. Und das Zusammenkleben haben wir dann auch gespart.« Wie sollten sie bei den anderen vorgehen? Auf jeden Fall wollten sie so viele Schnitte sparen wie möglich.

Sie ahnen, was sie schließlich machten: Sie suchten in jedem Pentakubus den längsten Stab, dann den zweitlängsten usw. So sortierten sie die gezeichneten Pentakuben neu nach ihrem »Sägetyp«. Sie fanden schließlich (fast) alle fünf möglichen Typen: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1 und 2+2+1. Bei der Präsentation ihres Pentakuben-Baukastens, mit dem sie interessante Puzzlefiguren bauen konnten, waren sie zu Recht stolz auf ihre arbeitssparende Idee. Sie nannten sie ihren »Handwerkertrick«. Es war aber eine mathematische Entdeckung: eine systematische Analyse der Pentakubenstruktur. Auch »Äquivalenzklassenbildung durch Dekonstruktion« wäre nicht falsch. Dass sie ihre mathematische Leistung nicht als solche wahrgenommen haben, ändert nichts an ihrer Leistung. Menschen betreiben im Alltag oft erfolgreich Mathematik, ohne dass ihnen das auffällt.

Auch im Nachhinein, wenn man die Pentakuben bereits spontan gezeichnet hat, lohnt es sich, die gefundenen nach diesen Typen neu zu ordnen. Man findet dabei oft noch das ein oder andere Duplikat. Vor allem aber entdeckt man dabei zwanglos die kombinatorische Geometrie: Durch systematisches »Herumwandernlassen« von Würfeln bzw. Stäben kann man alle Pentakuben kombinatorisch konstruieren. Und vielleicht das Wichtigste: Man setzt aktiv und gezielt die eigene figurative Intelligenz zur Problemlösung ein.

Übrigens: In der Abbildung der Pentakuben oben sind die 12 Pentominos versteckt, die es gibt. Also die zweidimensionalen Entsprechungen der Pentakuben, die statt aus 5 Würfeln aus 5 Quadraten bestehen. Finden Sie sie? Welche Formeigenschaft haben sie gemeinsam, die sie von den übrigen Pentakuben unterscheidet? – Ja klar, logisch. Es sind natürlich die mit nur einer Würfelschicht. (Wenn Sie sich etwas eingehender mit diesen »Fünfquadratlern« beschäftigen, könnten Sie zunächst mehr als 12 finden. Zwei Pentonimos gelten aber als gleich, wenn man das eine durch Umwenden auf die Rückseite mit dem anderen zur Deckung bringen kann. Und dann sind es nur noch 12.)

Hexakuben

Gehen wir noch einen Schritt weiter: Die folgende Abbildung zeigt 131 Hexakuben. Das sind allerdings nicht alle. Welche fehlen hier? Wie sind die gebaut? Und wie viele sind es? Denken Sie an die Pentominos.

Richtig, es fehlen die flachen Hexakuben, die nur eine Würfelschicht haben. Davon muss es ebenso viele geben wie von den zweidimensionalen Hexominos aus jeweils 6 Quadraten, nämlich 35. Es gibt also 166 Hexakuben. Die 35 Hexominos sind in der Abbildung unten zu sehen.

Übrigens: Da Würfel auch aus 6 Quadraten bestehen, sind einige dieser Hexominos zugleich Würfelnetze. Es gibt 11 Würfelnetze, sie sind unten blau markiert. Vielleicht haben Sie jetzt Lust, für ein paar Minuten mit vorgestelltem Handeln zu überprüfen, dass Sie aus den blauen Hexominos tatsächlich Würfel zusammenfalten können, aus den roten aber nicht. Eine »Espressolänge« reicht, und Sie haben Ihre figurative Intelligenz wieder einen Schritt weiter gebracht. Beginnen Sie zum Training vielleicht mit ein paar der blauen Figuren, aus denen Sie wirklich Würfel zusammenfalten können. Am besten wäre es natürlich, wenn Sie die Figuren aus Papier ausschneiden und wirklich falten. Aber beinahe ebenso gut klappt es »im Kopf«: Stellen Sie sich einfach vor, Sie hätten so eine blaue Figur aus Papier ausgeschnitten vor sich auf dem Tisch liegen; nehmen Sie sie »in die Hände« und führen Sie die Faltbewegungen zum fertigen Würfel durch – zwar ohne Papier, aber doch möglichst realistisch. Ein paar Minuten reichen zum Trainieren. Und dann versuchen Sie es ebenso mit ein paar der roten Figuren. Was passiert hier beim Falten? Warum bekommen Sie aus den roten Figuren keine Würfel zusammen?