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Zwei Quadrate zu einem zusammenlegen

Der Punkt S muss so liegen, dass die beiden schrägen Strecken links und rechts zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke abschneiden. Das ist der Fall, wenn der Abstand von S zur linken unteren Ecke gerade die Seitenlänge des kleineres Quadrats ist. Denn die beiden Dreiecke, die dann entstehen, sind rechtwinklig und haben beide die Katheten a und b. Mit dem Zirkel brauchen Sie also nur die kleinere Quadratseite abzumessen und diese von der linken unteren Ecke aus abzutragen.

Die folgende Animation zeigt, dass das große Quadrat entsteht, wenn die beiden rechtwinkligen Dreiecke jeweils um die obere Ecke um 90° gedreht werden, rechts im Uhrzeigersinn, links gegen ihn.

Die Animation regt unser visuelles Verständnis an. Die optischen Illusionen (vgl. Beispiel 6 auf der vorigen Seite) haben uns aber gezeigt, dass wir dem starken Gefühl des Überzeugtseins, das sie uns vermittelt, durchaus mit Skepsis begegnen sollten. Bilder können eine »Steilvorlage« für einen Beweis sein, ersetzen können sie ihn nicht. Dass durch diese Konstruktion tatsächlich ein Quadrat – also ein gleichseitiges und gleichwinkliges Viereck – entsteht, können wir ausführlich so beweisen:

Aus den Maßen unserer Zerlegung ergibt sich unmittelbar, dass nach dem Drehen der beiden Dreiecke deren Spitzen auf einem gemeinsamen Punkt liegen, und dass die Teilstücke weder überlappen noch Lücken bilden. Damit ist sicher, dass die Teilstücke nach dem Drehen ein Viereck bilden. Wir zeigen nun, dass dieses Viereck gleichseitig und gleichwinklig ist: Die beiden schrägen Strecken sind die Hypotenusen der kongruenten rechtwinkligen Dreiecke, und daher gleich lang. Die beiden anderen Seiten des Vierecks, das durch die Drehung entsteht, werden ebenfalls von diesen Hypotenusen gebildet. Das Viereck ist also gleichseitig (d.h. es ist eine Raute). Bei S liegen links und rechts die beiden Basiswinkel des rechtwinkligen Dreiecks an, die sich zu 90° ergänzen. Daher ist der mittlere Winkel bei S ein rechter. Die drei anderen Innenwinkel des Vierecks setzen sich jeweils aus den beiden Basiswinkeln des rechtwinkligen Dreiecks zusammen, sie sind also rechte Winkel. Die Raute ist demnach gleichwinklig, sie ist also ein Quadrat.

Da an die beiden Ausgangsquadrate keinerlei Bedingungen geknüpft sind, gilt unser Beweis für zwei beliebige Quadrate. Was wir gezeigt haben, können wir auch so formulieren, dass der Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras deutlich wird: Die beiden Quadrate über den Katheten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks können so zerlegt werden, dass die Teilstücke zu einem Quadrat zusammengefügt werden können, dessen Seiten von der Hypotenuse dieses Dreiecks gebildet werden. Daraus folgt unmittelbar der Satz von Pythagoras. Wie unsere Zerlegungs-Konstruktion in der üblichen Pythagoras-Figur aussieht, zeigt die folgende Abbildung: