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Die Würfelzerlegung von Paul Schatz

Die Würfelzerlegung von Schatz ist hinsichtlich des Volumens eine wirkliche Drittelung: alle drei Teile haben dasselbe Volumen. Der Würfelgürtel ist ein Kaleidozyklus aus sechs Tetraedern. In seiner Originalgestalt im Würfel befindet sich der Gürtel in »Z-Formation«, einem speziellen seiner unendlich vielen Inversionszustände.

Bei manchen Kaleidozyklen kann das Loch, das der Tetraederring innen freilässt, sich bei der Inversion schließen, weil alle Tetraeder innen zusammenstoßen. Dies geschieht in jeder Inversionsperiode zweimal. Zu dieser Klasse der Kaleidozyklen mit »geschlossener Formation« gehört auch der Würfelgürtel, wie in der Animation zu sehen ist, die wir hier etwas langsamer und mit Zwischenstopps ablaufen lassen. Die Bezeichnung »Kaleidozyklus« bedeutet übrigens soviel wie »schöne Ringfigur« (von griechisch kaló: schön, eidos: Figur, kyklos: Ring).

Form und Maße der sechs kongruenten Tetraeder des Würfelgürtels sind in der folgenden Abbildung zu sehen. Die beiden auf der Würfeloberfläche liegenden Dreiecke seiner Tetraeder sind kongruente »halbe gleichseitige Dreiecke«.

Technisch lassen sich Kaleidozyklen auch als Gelenkmaschinen realisieren. Bei ihnen wird jede Scharnierkante zwischen zwei Tetraedern zu einem Gelenk zwischen zwei Gliedern. Die folgende Animation zeigt eine Gelenkmaschine mit 8 Gliedern, sie repräsentiert also einen Kaleidozyklus mit 8 Tetraedern:

Die Netze von Kaleidozyklen

Entsprechend der Struktur von Kaleidozyklen als ringförmige Verkettung kongruenter Tetraeder sind ihre Netze in ihrer übersichtlichsten Form eine Sequenz von kongruenten Tetraedernetzen. Diese Netzstruktur ist bei allen Kaleidozyklen im Prinzip gleich. Die folgende Abbildung zeigt das Netz eines Kaleidozyklus mit ebenfalls sechs Tetraedern, auch er ist geschlossen. Nach der Form seiner Dreiecke nennt man ihn gleichschenklig.

Sobald man die Anzahl seiner Tetraeder sowie deren Kantenlängen kennt, kann man für jeden Kaleidozyklus sein Netz sofort zeichnen. Mit den Angaben oben ergibt sich für den Würfelgürtel das Netz der folgenden Abbildung. Wegen der Form seiner Tetraederflächen wird er als rechtwinkliger Kaleidozyklus bezeichnet.


Wenn Sie mehr über Kaleidozyklen und ähnliche Aspekte der figurativen Mathematik erfahren wollen: Unter Vorlesungen (im Menü oben) können Sie das Buch »Körpergeometrie« herunterladen. Darin finden Sie auch manches andere unserer Beispiele ausführlicher erläutert. Die Netze von Würfelgürtel und den beiden Riegelkörpern zum Selbstbau können Sie hier herunterladen: Netze der Würfelzerlegung.

Paul Schatz – ein mathematisch begabter Mathe-Aussteiger

Im Rahmen unseres Plädoyers für die figurative Intelligenz lohnt ein näherer Blick auf den Menschen Paul Schatz, ein Blick durch die »mathematikdidaktische Brille«. Seine mathematischen Entdeckungen – neben dem Würfelgürtel vor allem das aus dessen Inversion abgeleitete Oloid – sind eindrucksvolle Beispiele dafür, was in der elementaren Geometrie an Spannendem verborgen ist, bis es von einem kreativen Kopf gefunden wird. Gewiss, keine große Mathematik, aber originell und höchst interessant. Und bestens dazu geeignet, Menschen, junge wie alte, durch das Erlebnis von Faszination – poetischer: durch »figurative Verzauberung« – dazu anzuregen, ihr mathematisches Weltbild zurechtzurücken. (Nebenbei: Dass schrullige Leute versuchen, Schatz esoterisch zu vereinnahmen, können wir amüsiert zur Kenntnis nehmen – und vergessen. Er war ein mathematisch interessierter Bildhauer, kein »Druide«.)

Interessant ist er aus mathematikdidaktischer Perspektive aber nicht allein wegen seiner Entdeckungen. Sondern auch, weil er das Beispiel eines Menschen war, der trotz hoch entwickelter figurativer Intelligenz zum Mathe-Aussteiger wurde. Die Frage ist: Trotz oder wegen?

Schatz hatte zunächst Mathematik und Maschinenbau studiert, dann aber kurz vor dem Diplom zur Astronomie gewechselt. Das mathematische Denken lag ihm, er hatte schon als Schüler für seine Leistungen in Mathematik ein Stipendium erhalten. Im Studium aber sah er dieses mathematische Denken mit wachsender Skepsis. Er empfand es als zu einseitig und abstrakt. Es war aber wohl nicht eigentlich die Abstraktheit, die ihn zunehmend auf Distanz zur Mathematik gehen ließ. Eher wohl der Umstand, dass diese Abstraktheit nicht auf dem Fundament starker figurativer Vorstellungen entwickelt wurde.

Der Student Schatz dürfte erlebt haben, was bei lehrenden Mathematikern in Schule und Hochschule auch in unseren Tagen durchaus kein Ausnahmephänomen ist: Er wird erlebt haben, dass ihm die präsentierte Abstraktheit nicht nachvollziehbar gemacht, sondern als schlichtweg zu akzeptierender, nicht weiter erläuterter Formalismus vorgesetzt wurde. Im besten Fall als Werkzeugkasten ungewisser Herkunft; im schlechteren als nicht hinterfragbares Ritual; im schlechtesten, böse formuliert, wie der Ehrenkodex einer Organisation mit Verpflichtung zur »Omertà«.

Mit 24 Jahren brach Schatz sein Studium ab, begann eine Ausbildung zum Holzschnitzer und arbeitete anschließend für einige Jahre als Bildhauer in seiner Heimat am Bodensee. 1927 zog er mit seiner Frau in die Schweiz, wo er als Künstler und Erfinder bis zu seinem Tod lebte.

Ein erfolgreiches Leben, aber eben völlig unnötiger Weise auch das eines Mathe-Aussteigers. Würde dieses Leben heute wohl anders verlaufen? Wie viele begabte Kinder mögen enttäuscht aus »Mathe« aussteigen, weil ihre Intelligenz vorwiegend figurativ orientiert ist?