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Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen

Wenn wir die 5 ersten Winkelzahlen zur Hand nehmen und ein wenig puzzeln, dann entdecken wir bald, dass sie ideal ineinander passen. Indem wir die 5 Zahlfiguren zusammenschieben, bauen wir eine neue Zahlfigur, nämlich die für die Summe dieser 5 Zahlen.

Wir sehen: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist stets die n-te Quadratzahl. Denn wir erkennen, dass sich nicht nur bei den ersten 5 Winkelzahlen beim Zusammenschieben ein Quadrat ergibt: Weil die nächste Winkelzahl außen genau an die bisher letzte passt, da sie an jedem Schenkel um 1 länger ist, entsteht bei ihrem Anlegen stets wieder ein Quadrat.

Wir sehen hier auch: Wer nur rechnet, macht keine Entdeckungen. Nur wenige Menschen aktivieren beim Rechnen figurative Vorstellungen, die eigenen Bilder im Kopf. Ohne diese Bilder aber können wir nichts entdecken. Zahlfiguren zeigen uns beim Handeln sofort, wie die Zahlen, die sie repräsentieren, zueinander passen. Und sie zeigen uns etwas von der inneren Struktur der Zahlen. Die Winkelfiguren zum Beispiel zeigen, dass ungerade Zahlen stets die Form x+1+x haben. Kurz: Mit Zahlfiguren be-greifen wir, wie die Zahlen aufgebaut sind und wie sie funktionieren.

Das Wichtigste an Zahlfiguren ist aber: Wenn wir mit ihnen handeln und unseren Händen dabei zusehen, dann macht unser Gehirn permanent und automatisch »Schnappschüsse« davon, die es zu suggestiven Bildern mit immanentem Handlungsbezug verdichtet. Diese Bilder bauen unser Repertoire an figurativen Vorstellungen auf und erweitern es. Sie helfen uns später dabei, Probleme allein durch vorgestelltes Handeln zu lösen – gleichzeitig konkret und imaginär. Wir erinnern uns an die Erkenntnis von Jean Piaget: Denken ist vorgestelltes Handeln. Zahlfiguren machen unsere figurative Intelligenz zur sicheren, weil überzeugungs-gesättigten Basis für unsere numerische Intelligenz.

Zahlfiguren

Im guten Mathematikunterricht lernen Kinder nicht einfach Rechnen: Zuerst lernen sie die natürlichen Zahlen anhand von Zahlfiguren kennen, mit denen sie konkret handeln können wie mit den Elementen eines Baukastens. Solche Zahlfiguren setzen sie aus kleinen Quadraten zusammen, jede Zahl aus ebensovielen Quadraten. Eine Zahl kann natürlich auf höchst verschiedene Arten als Zahlfigur gelegt werden. Es gibt aber Formen, bei denen die Gemeinsamkeiten der Zahlen bestimmter Teilmengen besonders deutlich hervortreten. So gibt es charakteristische Darstellungsmöglichkeiten für gerade Zahlen und für ungerade. Für gerade Zahlen ist dies vor allem die Standardform. Sie zeigt die wesentliche Eigenschaft gerader Zahlen: dass jede nämlich in Paare zerlegt werden kann.

Für ungerade Zahlen gibt es zum einen die Analogie zu den geraden Zahlen, die augenfällig macht, dass hier beim Paarebilden immer eins übrigbleibt. Ebenso wichtig ist die Darstellung als symmetrische Winkelzahlen (s.o.). Sie ist wichtig, weil sie zeigt, dass ungerade Zahlen nichts Krummes, Unregelmäßiges sind. Dass sie vielmehr ebenso wie die geraden Zahlen eine immanente Regelmäßigkeit, eine eigene Symmetrie haben.

Lange bevor sie multiplizieren können, entdecken Kinder beim Spiel mit Zahlfiguren, dass sie manche Zahlen als Quadrat legen können. Diese Zahlen nennen wir daher »Quadratzahlen«.

Um zu verstehen, was eine Quadratzahl ist, muss man keineswegs multiplizieren können. Gerade umgekehrt: Um multiplizieren lernen zu können, muss man zuvor unter anderem eine genaue Vorstellung davon entwickelt haben, was Quadratzahlen sind.

Mit Zahlfiguren Regeln entdecken

Beim handelnden Umgang mit Zahlfiguren machen Kinder vielfältige Beobachtungen. Nicht selten entdecken sie dabei selbstständig Regeln. So zum Beispiel die, dass die Summe zweier Zahlen von gleicher Parität (d.h. beide gerade oder beide ungerade) stets eine gerade Zahl ist.


Während Kinder, die mit Zahlfiguren lernen, die Regel und zugleich ihren handelnden Beweis vor Augen haben – ein Bild, das sie später immer wieder aus ihrem inneren Bildrepertoire abrufen (rekonstruieren) können –, kann ein Kind, das ohne Zahlfiguren lernen muss, hier nur einen Merksatz auswendig lernen. Nicht selten führt das dazu, dass beim späteren Wieder-Erinnern die Merkregel nach einer naheliegenden, doch unbegründeten Analogie falsch rekonstruiert wird: »Die Summe zweier geraden Zahlen ist gerade (korrekt), die Summe zweier ungeraden Zahlen ist ungerade (falsch).«

Figurative versus sprachliche Wissensrepräsentation

Wer mathematische Erkenntnisse in figurativer Repräsentation in das eigene Wissensnetz einbaut, baut mit den Bildern zugleich auch die Begründung oder zumindest Begründungsansätze für diese Erkenntnisse ein. Beim Abrufen dieses Wissens wird so automatisch und spontan auch die Einsicht in das Warum des Wissens reaktiviert.

Wer dagegen ohne figurative Repräsentationen auskommen muss, ist auf die Wissensrepräsentation allein durch Sprache angewiesen, mit den bekannten Folgen: Während Bilder, sofern sie Schnappschüsse eigener realer Handlungen sind, zur Realität nicht in Widerspruch geraten können, kann man mit Sprache alles ausdrücken und plausibel machen, auch das Falsche und Unmögliche. Daher ist Sprache generell ein durchaus problematisches Medium zur Vermittlung mathematischen Wissens. Die meisten Probleme im heutigen Mathematikunterricht entstehen dadurch, dass Lehrer/innen zu viel sprechen und zu wenig zeigen. Die Versprachlichung mathematischer Beobachtungen und Erkenntnisse ist nur dann nicht problematisch, im Gegenteil sogar ausgesprochen produktiv, wenn es die Lernenden selbst sind, die sie vornehmen, zum Beispiel in eigenen Lerntagebüchern.

Das Lernen (auch) von Mathematik führt immer von den Phänomenen zu den Begriffen. Von Erfahrungen, die handelnd gewonnen werden (enaktive Repräsentation), über Bilder, die diese Handlungen schnappschussartig festhalten (ikonische Repräsentation), zur allmählichen Versprachlichung (symbolische Repräsentation). Wobei jede frühere Repräsentationsstufe durch die folgenden nicht ersetzt, sondern nur ergänzt wird. Eine adäquate Sprache wird vom lernenden Individuum immer erst im Verlauf des Lernprozesses individuell konstruiert und in kommunikativen Prozessen optimiert. Von Lernenden zu fordern, von Anfang an präzise zu sprechen – wie das oft zu beobachten ist –, ist daher widersinnig und kontraproduktiv.

Visualisieren versus Illustrieren

Visualisierung (das Sichtbarmachen) ist eine der wichtigsten Strategien im Mathematikunterricht. Auf den ersten Blick wird auch wirklich viel visualisiert: Betrachten wir nur die zahlreichen schönen Bilder in Schulbüchern und auf den Tafeln und Tageslichtprojektoren im Klassenraum. Bei genauerem Hinsehen müssen wir diesen ersten Eindruck aber kritisch revidieren: Es wird zwar viel illustriert, doch wenig visualisiert.

Illustrationen sind im besten Fall nur Verständnis-unterstützend, nicht Verständnis-erzeugend. Visualisierungen dagegen sind Verständnis-erzeugend. Dazu müssen sie Handlungsbezug haben. Am wirkungsvollsten für das lernende Individuum sind Visualisierungen, die Schnappschüsse eigener Handlungen sind.

Die beiden Rechner-Typen

Wie gesagt: Nur wenige Menschen aktivieren beim Rechnen figurative Vorstellungen. Die meisten haben ja auch nie gelernt, eigene Bilder im Kopf überhaupt zu entwickeln. Ihnen bleibt daher nichts anderes übrig, als streng nach eingeübten Methoden zu rechnen. Sie befolgen vorgeschriebene Regeln, deren Sinn sie nicht wirklich durchschauen. Sie rechnen »brav und fremdbestimmt«. Den ihnen vorenthaltenen Durchblick ersetzen sie durch Disziplin. Sie rechnen also buchstäblich »nach Adam Ries«, dessen Lehrbuch Rechnung auff der linihen und federn (1522) ja eine reine Rezept-Sammlung ist, ohne Begründungen und ohne die Unterstützung eigener Vorstellungsbildung. Diesen Rechner-Typ könnten wir daher den Adam-Ries-Typ nennen. Nach der dahinter liegenden Lehrphilosophie aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts – deren menschenverachtendes Prinzip der Konditionierung längst zu Recht abgelehnt wird, weil es das lernende Individuum zum bloßen Objekt im Lehrprozess degradiert und eigentlich missbraucht – können wir ihn aber treffender als den behavioristischen Typ bezeichnen: Es ist die Philosophie des Drill and Practice, der es um mechanisches Methodentraining geht, um möglichst effektive Verhaltensmanipulation, die sich um Verständnis nicht schert.

Als Folge des fehlenden Durchblicks sind die »behavioristischen Rechner/innen« trotz ihrer oft korrekten Ergebnisse häufig unsicher und von ihren Resultaten wenig überzeugt. Zur Sicherheit rechnen sie nicht selten mehrmals nach, aber jedesmal nach derselben Methode. Denn sie kennen keine alternativen Rechenwege. Viele wehren sich geradezu dagegen, andere Möglichkeiten auch nur kennenzulernen: Wer durch Drill and Practice lernt, wird durch Alternativen nur verwirrt. Diese Rechner kann man beim »Mensch ärgere Dich nicht« leicht erkennen: Es sind die Spieler, die nach dem Würfeln jedes einzelne Feld, das sie weiterrücken dürfen, laut abzählen. Das müssen sie, denn sie haben keine Bilder im Kopf, mit denen sie sofort sehen könnten, wo zum Beispiel das Feld »6 weiter« liegt. Da sie die Struktur des Spielfelds nicht verinnerlicht haben – das periodische »4+4+2« des Weiterrückens vom Startfeld aus –, können sie den 6er-Sprung nicht als kombinierten 2er- und 4er-Sprung ausführen.

Wer als Kind behavioristisch zu rechnen gelernt hat, wird durch die gegenwärtige Mathematiklehrerausbildung, deren Modernität sich eher in Stilfragen äußert und in der Aspekte der figurativen Intelligenz allenfalls ein Nischendasein führen, keineswegs genügend aufgeklärt und gewissermaßen »dekonditioniert« – und wird folglich im eigenen Unterricht Kinder ebenfalls wieder zu behavioristischen Rechnern ausbilden. In Grundschulklassen findet man dies oft bestätigt, wenn man Kinder und Lehrer im Rechenunterricht aufmerksam beobachtet.

Den Gegentyp zum behavioristischen Rechner-Typ bilden jene, bei denen im Hintergrund des Rechnens stets figurative Vorstellungen bereitstehen, die zum Beispiel automatisch aktiv werden, wenn sich auf dem Rechenweg die Gelegenheit zur Abkürzung bietet. Auch diese Rechner/innen wenden natürlich Regeln an, und sie rechnen keineswegs immer schneller als die anderen. Aber sie rechnen zumeist so, dass sie an jeder Stelle des Weges quasi intuitiv wissen, wo sie sind, was sie tun und warum sie es tun. Natürlich machen auch sie Fehler, doch sie sind seltener unsicher und merken rascher, wenn sie auf Abwege geraten. Ihre Sicherheit erhöhen sie, indem sie ihre Resultate auf Plausibilität überprüfen. Wenn sie doch nachrechnen, dann meist auf einem anderen Weg als zuvor.

Sie bewegen sich durch die Rechnung wie Einheimische auf bekanntem Terrain: Sie kennen Schlupfwege, die sie als Abkürzungen verwenden können. Sie können beurteilen, wann sich eine solche Abkürzung lohnt und wann nicht. Sie haben oft die Freiheit der (Methoden-)Wahl und treffen ihre eigenen Entscheidungen. Diesen Rechner-Typ können wir mit Fug und Recht den »souveränen Typ« nennen. Schneller als gut trainierte behavioristische Rechner/innen sind allerdings die souveränen oft schon darum nicht, weil sie dazu neigen, alternative Rechenwege zu suchen und ihre Vor- und Nachteile gegen einander abzuwägen. Vereinfacht gesagt: Während der behavioristische Typ ergebnisorientiert ist, ist der befreite Typ prozessorientiert. Er denkt nicht ausschließlich über Resultate nach, sondern ebenso über Rechenwege und erweitert durch diese methodische (»metanumerische«) Reflexion fortlaufend die eigene Rechenkompetenz und durch das Erlebnis dieses Kompetenzgewinns wiederum die eigene Motivation.

Der Mathematikunterricht ist das Problem, für dessen Lösung er sich hält

Wo es, wie beim Rechnen im Alltag, allein um korrekte Ergebnisse geht, wird ohnehin seit langem ausschließlich maschinell gerechnet. Die Programmierung von Maschinen dürfte auch das einzig akzeptable Betätigungsfeld für Anhänger der behavioristischen Konditionierung sein. Der Mathematikunterricht jedenfalls ist es nicht.

Wo es um Verständnis, um Überblick und Durchblick bei Rechenprozessen geht, ist die Fähigkeit zur methodischen Reflexion entscheidend, wie sie für den souveränen Rechner-Typ charakteristisch ist. Unsere Kinder haben das Recht auf einen Mathematikunterricht, der sie zu diesem souveränen Rechnen befähigt. Auf einen Unterricht mithin, der ihre figurative Intelligenz aktiviert, indem er nicht auf schematische Rechenübungen setzt, sondern von der ersten Stunde an das handlungsorientierte figurative Potential von Zahlfiguren nutzt. Nur so können wir das maliziöse Bonmot der Überschrift entkräften. Dorthin aber ist es – trotz vieler guter Ansätze – noch ein weiter Weg.

(Das Original des Bonmots stammt übrigens vom österreichischen Schriftsteller Karl Kraus, scharfzüngiger Universalkritiker der Wiener Kultur und Gesellschaft zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts, der damit einen Hype seiner Zeitgenossen verhöhnte: »Psychoanalyse ist jene Geisteskrankheit, für deren Therapie sie sich hält.«)